数学一级学科博士研究生培养方案（070100）

一、培养目标

全面了解、牢固掌握本人主攻方向的基本知识，包括该方向的基础课程、研究课题、重要文献、应用价值、在数学科学中的地位及其学术价值、与相关学科的联系及其重要作用;思路敏捷、洞察力强、勇于创新、悟性高，对本方向的发展趋势有远见卓识；独立承担并完成自选的、或导师提示的国内领先水平的研究课题，做出创造性的研究成果，完成高质量的、有一定深度的博士学位论文。

二、研究方向

本培养方案适用于数学一级学科中5个专业：基础数学专业（070101）、计算数学专业（070102）、概率论与数理统计专业（070103）、应用数学专业（070104）、运筹学与控制论专业（070105）。

1、微分几何：主要研究几何非线性Schordinger方程；可积系统;规范场与流形拓扑；负曲率流形；辛几何与辛拓扑；复几何。

2、代数编码：主要研究现代通信系统数学模型的建立、分析；纠错码的构造、性能分

析和译码算法研究；未来移动通信系统中的多输入多输出技术和正交频分复用技术研究。

3、偏微分方程：主要研究几何发展方程；超导的Ginzburg-Landau理论；

Bose-Einstein凝聚等方程中的涡旋性质；生物模型中具扩散的非线性方程；传染病模型的定性研究；非线性反应扩散方程组的定性研究等。

4、泛函分析：主要研究非线性算子半群及Banach空间上的非线性微分包含及其应用。

5、代数学：主要研究Hopf代数与量子群及其表示理论；环上的同调理论；李代数的量子化变形及其不变理论；有限群的结构与表示理论；代数学在编码学中的应用等。

6、拓扑学与Domain理论：主要研究Domain序结构与拓扑结构；理论计算机中的语

义结构；信息系统理论；非经典逻辑。

7、计算科学理论：主要研究计算机科学理论基础；系统优化理论；并行计算理论。

8、复杂网络的理论与应用：主要研究实际复杂网络的实证研究；一类复杂网络的共同

拓扑结构、相应的共同统计性质，以及共同动力学机制；复杂网络演化的统计物理学模型及其求解；复杂网络上的物理过程。

9.微分方程理论及其应用：主要应用微分方程理论研究微分动力系统的动力学性态。

10.复杂系统与复杂网络动力学与控制：主要研究出现在数学物理、工程、生物等领域中的复杂系统及复杂网络动力学、控制及应用。

三、课程设置

四、课程简介

1．基本代数学：通过本课程学习，使学生掌握代数学中的群、环、域与Galois理论等基础知识，并了解一些与分析、几何等其他分支相关的实例，为进一步学习打下一定的基础。

2.现代分析：通过本课程学习，学生掌握Borel测度，Lebeshue测度和复测度的基本性质，掌握抽象积分，Hilbert空间和Banach空间技术等现代实分析和复分析的基础知识，为进一步学习打下一定的基础。

3．非线性微分包含：通过本课程学习，使学生掌握Banach空间中微分包含的基础知识，利用非线性算子半群理论研究微分包含解的存在性和渐近性质，解集的拓扑性质，以及在偏微分方程和控制论中的应用，为进一步的研究工作打下基础.

4．非线性泛函分析：非线性泛函分析主要包括非线性算子基本理论，不动点定理，变分法，单调算子理论等，在非线性微分方程，控制论，最优化，数学物理等领域具有广泛的应用。通过本课程的学习,可使学生了解和掌握研究非线性问题的理论和方法。可根据进一步研究工作的需要选讲。

5.反射函数与多微系统的研究：本课程主要通过嵌入系统，研究嵌入系统的代数曲线的几何性态。通过研究多维微分系统的解关于时间的对称性来研究解的几何性态，特别可用来研究周期系统解定性性态。通过本课程的学习，学生可以学会从新的视角去研究微分系统的动力学行为。

6．计算智能：本课程着重词语计算，利用Fuzzy集和三角模等工具描述用词语“非常”， “有点儿”等表达的不确定信息，为近似推理和Fuzzy控制提供数学理论基础和模型， 同时为实际过程控制盒聚类分析提供多种可能的算法。该课程是Fuzzy集论，序理论，逻辑理论，控制论等多学科的交叉。

7．Domain理论：本课程是在连续格理论基础上对一般的偏序集展开的连续性及其内蕴拓扑的研究。这一理论为计算机函数式程序设计提供数学基础，同时将代数学， 分析学， 拓扑学及范畴论等有机结合，体现了多种数学结构间的相互制约与联系。

8．量子群及其表示理论：通过本课程学习，使学生掌握拟三角Hopf代数、Drinfeld量子偶、有限维李代数的量子化包络代数及其上的表示理论等基本知识。

9．李代数及其表示理论：通过本课程学习，使学生掌握李代数的基恩概念、有限维单李代数的分类、有限维半单李代数的结构、表示和根系等基本理论，为进一步学习打下李理论基础。

10．二阶椭圆型方程：通过本课程的教学，使得研究生熟练掌握二阶椭圆型方程Dirichlet问题的各种先验估计方法，特别了解近年来出现的最新估计技巧，初步掌握求解线性方程、拟线性方程以及完全非线性方程的基本理论和基本研究方法。

11．非线性发展方程：本课程主要介绍线性算子半群的基本理论及其在发展方程中的应用，介绍近几年提出的处理有关非线性发展方程柯西问题的整体经典解存在性的有效方法及相应的重要结果。通过该课程的学习，使学生初步掌握处理非线性发展方程的基本方法。

12．微分流形：微分流形是描述许多自然现象的一种空间形式。通过本课程学习，使学生掌握微分流形的基本概念和例子、微分流形上的光滑切向量场、光滑张量场、外微分式的运算和性质，学习的重点是如何处理在微分流形上大范围定义的对象。

13．可积系统：通过本课程学习，使学生掌握孤子方程的推导、求孤子方程精确解的各种方法（包括达布变换、贝克隆变换、Hirota直接方法、Painleve试验等）、可积系统的哈密尔顿结构及代数几何性质，为今后从事非线性科学方面的研究打下坚实的基础。

14．非线性系统分析与设计：本课程主要介绍非线性系统分析和非线性系统设计的基本理论。系统分析部分涉及系统平衡点稳定性、系统输入—输出稳定性和无源性分析；系统设计部分则重点介绍反馈线性化设计、Backstepping递归设计、基于无源化的设计和Forwarding递归设计方法。通过该课程的学习，为学生从事相关控制领域的研究打下良好的基础。

15．非线性动力学与混沌：本课程主要介绍非线性系统动力学、分叉和混沌理论、控制理论及其应用，重点介绍近几年来国内外的最新进展，包括高维非线性系统的多脉冲全局分叉、时滞动力系统、非光滑动力系统等变非线性动力系统、C-L方法、规范形的计算、非线性随机优化控制、网络结构与动力学、非线性系统大范围运动动力学。通过该课程的学习，使学生系统掌握非线性系统常用的研究方法。

16．群类群系理论：系统介绍群类理论的一般知识，阐述与有限群的各种典型子群(如F-投射子、F-覆盖子群、F-内射子、F一正规化子等)有关的现代群类论的经典部分，还介绍群系、Schunck类和Fitting类理论，局部群系的性质、构造及有关应用。通过学习，让学生了解群类群系理论的基础理论和最新发展。

17．有限可解群：将系统介绍近年来有限可解群发展的历史，主要包括有限群论基础知识、Schunck类、群系理论、系正规化子、投射子及Fitting类等，并讨论它们在有限群中的若干应用。该课程的开设，为学生进一步深入研究有限群中重要的研究对象可解群提供有益的参考。

18.应用分支理论：主要介绍分支与混沌的基本理论与方法。通过本课程的学习，一方面使学生掌握局部分支与全局分支的基本概念与基本方法，并结合实际问题给学生介绍分支问题分析的常用方法与技术；另一方面，使学生熟悉混沌的基本理论；本课程的学习是后续工作的必备基础。

19．代数数论 ：通过本课程的学习，使学生了解代数数论理论的基本框架。主要介绍有限和无限阿贝尔群的一些重要定理、代数数域中的一般算术、二次互反定律和在现代通信理论中的应用。

20．有限域论： 通过本课程的学习，使学生掌握有限域理论的基本知识。主要介绍有限域的结构、有限域上的多项式及其分解、指数和、有限域上的方程、线性递归序列、以及有限域理论在编码密码学中的应用。