近世代数 课程教学大纲

总学时：192 自学时数：144 面授时数：44

运用专业：数学教育 课程性质：专业课

先修课程：：高等代数 制定日期：2011年10月

一、 本课程的地位和作用

近世代数研究的究对象是具有代数运算的集合。具有运算的集合称为代数系统，所以近世代数的研究对象就是代数系统，在代数学中有各种各样的代数系统, 但研究最多、应用最广泛的代数系统是群、环、域和模，它们构成了代数学的核心。近世代数是代数学的基础，要介绍群、环和域的基本理论以及它们在其它学科中的一些应用。它的基本概念、基本理论和基本方法是每个数学工作者所必须掌握的。

二、 本课程的教学目标

通过近世代数的教学，让学生理解和掌握群、环、域三个代数系统的基础知识和基本理论，受到代数方法的初步训练，对于近世代数的思想和方法有初步认识，培养学生抽象思维能力和逻辑推理能力。

三、 课程内容和基本要求

（一）教学基本要求

1. 掌握集合及集合间的映射

2. 了解何为代数系统

3. 理解等价关系和商集及剩余关系及其剩余类

4. 掌握群的定义及具体例子

5. 理解群元素的阶及循环群、对称群的定义、会计算一些简单的例子

6. 掌握群的拉格朗日定理和群同态基本定理

7．理解子群、不变子群和商群

8. 掌握环的第一及具体例子

9. 理解子环、理想和商环

10. 掌握环同态基本定理

11. 了解整环中不可约元、素元和唯一因子分解元的定义

12. 掌握主理想整环和欧氏环

（二）教学基本内容

第一章 基本概念

§1 集合

§2 映射

§3 代数运算

§4 结合律

§5 交换律

§6 分配律

§7 一一映射、变换

§8 同态

§9 同构、自同构

§10 等价关系与集合的分类

第二章 群论

§1 群的定义

§2 单位元、逆元、消去律

§3 有限群的另一定义

§4 群的同态

§5 变换群

§6 置换群

§7 循环群

§8 子群

§9 子群的陪集

§10 不变子群、商群

§11 同态与不变子群

第三章 环与域

§1 加群、环的定义

§2 交换律、单位元、零因子、整环

§3 除环、域

§4 无零因子环的特征

§5 子环、环的同态

§6 多项式环

§7 理想

§8 剩余类环、同态与理想

§9 最大理想

§10 商域

第四章 整环里的因子分解

§1 素元、唯一分解

§2 唯一分解环

§3 主理想环

§4 欧氏环

§5 多项式环的因子分解

四、 学时分配

序号	教学环节 学时 名称	讲课		小计
一	基本概念	2		2
二	群论	16		16
三	环与域	16		16
四	整环的因子分解	8		8
	复习	2		2
合 计				44

五、 主要教材及参考书

1． 张禾瑞：《近世代数基础》，人民教育出版社，1978。

2． 刘绍学：《近世代数基础》，北京师范大学出版社，1999。

3． 姚慕生：《抽象代数学》，复旦大学出版社，1998。

六、 说明

本大纲撰写人 李立斌(教授) 扬州大学数学科学学院